Question

已知拋物線y=x²+（2n-1）x+n²-1（n為常數）．
（1）當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數關系式；
（2）設A是（1）所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．
①當BC=1時，求矩形ABCD的周長；
②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標．如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將原點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出n的值，然后根據拋物線頂點在第四象限將不合題意的n值舍去，即可得出所求的二次函數解析式；
（2）①先根據拋物線的解析式求出拋物線與x軸另一交點E的坐標，根據拋物線和矩形的對稱性可知：OB的長，就是OE與BC的差的一半，由此可求出OB的長，即B點的坐標，然后代入拋物線的解析式中即可求出B點縱坐標，也就得出了矩形AB邊的長．進而可求出矩形的周長；
②思路同①可設出A點坐標（設橫坐標，根據拋物線的解析式表示縱坐標），也就能表示出B點的坐標，即可得出OB的長，同①可得出BC的長，而AB的長就是A點縱坐標的絕對值，由此可得出一個關于矩形周長和A點縱坐標的函數關系式，根據函數的性質可得出矩形周長的最大值及對應的A的坐標．

解答：解：（1）由已知條件，得n²-1=0
解這個方程，得n₁=1，n₂=-1
當n=1時，得y=x²+x，此拋物線的頂點不在第四象限．
當n=-1時，得y=x²-3x，此拋物線的頂點在第四象限．
∴所求的函數關系為y=x²-3x；

（2）由y=x²-3x，
令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3
∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）
∴它的頂點為（

3

2

，-

9

4

），對稱軸為直線x=

3

2

，其大致位置如圖所示，
①∵BC=1，易知OB=

1

2

×（3-1）=1．
∴B（1，0）
∴點A的橫坐標x=1，又點A在拋物線y=x²-3x上，
∴點A的縱坐標y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=|-2|=2．
∴矩形ABCD的周長為：2（AB+BC）=2×（2+1）=6．
②∵點A在拋物線y=x²-3x上，故可設A點的坐標為（x，x²-3x），
∴B點的坐標為（x，0）．（0＜x＜

3

2

）
∴BC=3-2x，A在x軸下方，
∴x²-3x＜0，
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周長，
C=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-

1

2

）²+

13

2

，
∵a=-2＜0，拋物線開口向下，二次函數有最大值，
∴當x=

1

2

時，矩形ABCD的周長C最大值為

13

2

．
此時點A的坐標為A（

1

2

，-

5

4

）．

點評：本題主要考查二次函數解析式的確定以及二次函數的應用．