Question

在線(xiàn)段AB上任意選取一點(diǎn)M，在A(yíng)B的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，這兩個(gè)正方形的外接圓的圓心分別為點(diǎn)P、Q，設(shè)這兩個(gè)外接圓又交于點(diǎn)M、N．
（a）求證：線(xiàn)段AF、BC相交于點(diǎn)N；
（b）求證：不論點(diǎn)M如何選取，直線(xiàn)MN都通過(guò)一定點(diǎn)S；
（c）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A、B之間變動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,梯形中位線(xiàn)定理,圓周角定理,平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例

專(zhuān)題：綜合題

分析：（a）如圖1，可先證明點(diǎn)N、A、F共線(xiàn)，再證明點(diǎn)N、B、C共線(xiàn)，就可解決問(wèn)題．
（b）如圖2，易得∠ANM=∠MNB=45°，即射線(xiàn)NM平分∠ANB，根據(jù)圓周角定理得到NM的延長(zhǎng)線(xiàn)通過(guò)直徑為AB的下半圓周的中點(diǎn)S．
（c）設(shè)PP′，QQ′和RR′分別是過(guò)P，Q和線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R到AB的垂線(xiàn)段，如圖3，則有PP′∥QQ′∥RR′．根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得R′是P′Q′的中點(diǎn)，根據(jù)梯形中位線(xiàn)定理可得RR′=

AB

4

，即R到AB的距離是常值．然后考慮點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B兩個(gè)臨界位置，就可解決問(wèn)題．

解答：解：（a）證明：連接AN、NF、BC、MN、NB和NC，如圖1，

則∠ANM=∠ADM=45°，∠MNF=180°-∠MBF=135°，
所以∠ANF=∠ANM+∠MNF=45°+135°=180°，
所以點(diǎn)N、A、F共線(xiàn)．
∵AC是⊙P的直徑，∴∠ANC=90°．
∵∠ANB=∠ANM+∠MNB═45°+45°=90°，
∴點(diǎn)C、B、N共線(xiàn)，
∴AF和BC交于N．
（b）證明：如圖2，

∵∠ANM=∠MNB=45°即射線(xiàn)NM平分∠ANB，
∴NM的延長(zhǎng)線(xiàn)通過(guò)直徑為AB的下半圓周的中點(diǎn)S．
（c）設(shè)PP′，QQ′和RR′分別是過(guò)P，Q和線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R到AB的垂線(xiàn)段，如圖3，

則PP′∥QQ′∥RR′．
∵R為PQ的中點(diǎn)，∴R′是P′Q′的中點(diǎn)，
∴RR′=

1

2

（PP′+QQ′）=

1

2

（

1

2

AM+

1

2

MB）=

AB

4

，
即R到AB的距離是常值，
所以點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)路徑是平行于線(xiàn)段AB且與AB的距離為

AB

4

的一條線(xiàn)段．
當(dāng)M到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P′到點(diǎn)A，此時(shí)AQ′=

AB

2

，AR′=

AB

4

．
當(dāng)M到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q′到點(diǎn)B，此時(shí)P′B=

AB

2

，R′B=

AB

4

．
因而R的軌跡長(zhǎng)為AB-

AB

4

-

AB

4

=

AB

2

．
所以線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)的軌跡是平行于線(xiàn)段AB且與AB的距離為

AB

4

的一條長(zhǎng)為

AB

2

的線(xiàn)段．

點(diǎn)評(píng)：這是一道第一屆（1959年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題，主要考查了圓周角定理、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例、梯形的中位線(xiàn)定理等知識(shí)，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)是求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的關(guān)鍵．