【題目】如圖,在矩形ABCD中,ABBC3,在BC邊上取兩點(diǎn)EF(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),以EF為邊所作等邊△PEF,頂點(diǎn)P恰好在AD上,直線PE、PF分別交直線AC于點(diǎn)G、H

1)求△PEF的邊長(zhǎng);

2)若△PEF的邊EF在線段CB上移動(dòng),試猜想:PHBE有何數(shù)量關(guān)系?并證明你猜想的結(jié)論;

3)若△PEF的邊EF在射線CB上移動(dòng)(分別如圖和圖所示,CF1,P不與A重合),(2)中的結(jié)論還成立嗎?若不成立,直接寫出你發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論.

【答案】1△PEF的邊長(zhǎng)為2;(2PH﹣BE=1,證明過(guò)程見(jiàn)解析;(3)結(jié)論不成立,當(dāng)1CF2時(shí),PH=1﹣BE,當(dāng)2CF3時(shí),PH=BE﹣1

【解析】

試題過(guò)PPQ⊥BC,垂足為Q,由四邊形ABCD為矩形,得到∠B為直角,且AD∥BC,得到PQ=AB,又△PEF為等邊三角形,根據(jù)三線合一得到∠FPQ30°,在Rt△PQF中,設(shè)出QFx,則PF=2x,由PQ的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出x的值,即可得到PF的長(zhǎng),即為等邊三角形的邊長(zhǎng);

PH﹣BE=1,過(guò)EER垂直于AD,如圖所示,首先證明△APH為等腰三角形,在根據(jù)矩形的對(duì)邊平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,可得∠APE=60°,在Rt△PER中,∠REP=30°,根據(jù)直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,由PE求出PR,由PA=PH,則PH﹣BE=PA﹣BE=PA﹣AR=PR,即可得到兩線段的關(guān)系;

當(dāng)若△PEF的邊EF在射線CB上移動(dòng)時(shí)(2)中的結(jié)論不成立,由(2)的解題思路可知當(dāng)1CF2時(shí),PH=1﹣BE,當(dāng)2CF3時(shí),PH=BE﹣1

試題解析:(1)過(guò)PPQ⊥BCQ(如圖1), 四邊形ABCD是矩形, ∴∠B=90°,即AB⊥BC,

∵AD∥BC∴PQ=AB=, ∵△PEF是等邊三角形, ∴∠PFQ=60°,

Rt△PQF中,∠FPQ=30°, 設(shè)PF=2x,QF=xPQ=,根據(jù)勾股定理得:,

解得:x=1,故PF=2∴△PEF的邊長(zhǎng)為2;

2PH﹣BE=1,理由如下: Rt△ABC中,AB=,BC=3, 由勾股定理得AC=2

∴CD=AC, ∴∠CAD=30° ∵AD∥BC∠PFE=60°, ∴∠FPD=60°∴∠PHA=30°=∠CAD,

∴PA=PH∴△APH是等腰三角形, 作ER⊥ADR(如圖2Rt△PER中,∠RPE=60°, ∴PR=PE=1

∴PH﹣BE=PA﹣BE=PR=1

3)結(jié)論不成立,

當(dāng)1CF2時(shí),PH=1﹣BE, 當(dāng)2CF3時(shí),PH=BE﹣1

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b<0;4a+2b+c<0;a﹣b+c>0;(a+c)2<b2.其中正確的結(jié)論是

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(1)求兩直線l1、l2交點(diǎn)D的坐標(biāo);

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21中,若點(diǎn)Mx,y為線段BC上任一點(diǎn),寫出變化后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo) ,

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①(BE+CF)=BC,AD·EF,④AD≥EF,⑤ADEF可能互相平分,

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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