Question

2．如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，且∠ABC=120°，E是BC的中點，在BD上求點P，使PC+PE取最小值，并求這個最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)得到點A與C關(guān)于BD對稱，連接AE交BD于P，則AE=PC+PE取最小值，連接DE，推出△BCD是等邊三角形，得到∠BDE=30°，∠ADE=90°，根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，
∴點A與C關(guān)于BD對稱，
連接AE交BD于P，
則AE=PC+PE取最小值，
連接DE，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBE=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵E是BC的中點，
∴DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，
∴∠ADE=90°，
∵菱形ABCD的邊長為4cm，
∴AD=4，DE=2$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴PC+PE取最小值為2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了軸對稱確定最短路線問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)與最短路線的確定方法找出點P的位置是解題的關(guān)鍵．