Question

12．如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且PE=PB．
（1）當(dāng)PC=CE時(shí)，求∠CDP的度數(shù)；
（2）試用等式表示線(xiàn)段PB、BC、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）由SAS證明△BCP≌△DCP，得出BP=DP，∠CBP=∠CDP，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠CBP=∠PEB=∠CPE═22.5°，即可得出結(jié)果；
（2）證明P、C、E、D四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠DPE=∠DCE=90°，由勾股定理得出DE²=CD²+CE²，DE²=PD²+PE²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=∠DCE=90°，
∴∠PCE=45°+90°=135°，
在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCP=∠DCP}&{\;}\\{CP=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴BP=DP，∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，PC=CE，
∴PD=PE，∠CBP=∠PEB=∠CPE=$\frac{1}{2}$（180°-135°）=22.5°，
∴∠CDP=22.5°；
（2）BC²+CE²=2PB²，理由如下：
連接DE，如圖所示：
由（1）得：∠CBP=∠CDP，PD=PE，
∵PB=PE，
∴∠CBP=∠PEB，
∴∠CDP=∠PEB，
∴P、C、E、D四點(diǎn)共圓，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
由勾股定理得：DE²=CD²+CE²，DE²=PD²+PE²，
∵BC=CD，PB=PD=PE，
∴BC²+CE²=2PB²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)；熟記正方形的性質(zhì)，證明四點(diǎn)共圓得出，∴∠DPE=∠DCE=90°是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．