Question

17．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸正半軸上，點B的坐標(biāo)是（5，2），點P是CB邊上一動點（不與點C、點B重合），連結(jié)OP、AP，過點O作射線OE交AP的延長線于點E，交CB邊于點M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．
（1）當(dāng)x為何值時，OP⊥AP？
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）在點P的運動過程中，是否存在x，使△OCM的面積與△ABP的面積之和等于△EMP的面積？若存在，請求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定定理證明△OPC∽△PAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可；
（2）證明△OCM∽△PCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式即可求解；
（3）過E作ED⊥OA于點D，交MP于點F，根據(jù)題意得到△EOA的面積=矩形OABC的面積，求出ED的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PM，由（2）的解析式計算即可．

解答 解：（1）由題意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA，
∵OP⊥AP，
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°，
∴∠OPC=∠PAB，
∴△OPC∽△PAB，
∴$\frac{CP}{AB}=\frac{OC}{PB}$，即$\frac{x}{2}=\frac{2}{5-x}$，
解得x₁=4，x₂=1（不合題意，舍去）．
∴當(dāng)x=4時，OP⊥AP；
（2）∵BC∥OA，
∴∠CPO=∠AOP，
∵∠AOP=∠COM，
∴∠COM=∠CPO，
∵∠OCM=∠PCO，
∴△OCM∽△PCO，
∴$\frac{CM}{CO}=\frac{CO}{CP}$，即$\frac{x-y}{2}=\frac{2}{x}$，
∴$y=x-\frac{4}{x}$，x的取值范圍是2＜x＜5；
（3）假設(shè)存在x符合題意，
過E作ED⊥OA于點D，交MP于點F，則DF=AB=2，
∵△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積，
∴${S_{△EOA}}={S_{矩OABC}}=2×5=\frac{1}{2}×5ED$，
∴ED=4，EF=2，
∵PM∥OA，
∴△EMP∽△EOA，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{MP}{OA}$，即$\frac{2}{4}=\frac{y}{5}$，
解得$y=\frac{5}{2}$，
∴由（2）$y=x-\frac{4}{x}$得，$x-\frac{4}{x}=\frac{5}{2}$，
解得${x_1}=\frac{{5+\sqrt{89}}}{4}，{x_2}=\frac{{5-\sqrt{89}}}{4}$（不合題意舍去），
∴在點P的運動過程中，存在$x=\frac{{5+\sqrt{89}}}{4}$，使△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)解析式的確定，掌握矩形的性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．