Question

如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2

3

．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OC，交BD于E，
∵∠B=30°，∠B=

1

2

∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE=

1

2

BD=

3

，
∵sin∠COD=

DE

OD

，
∴OD=2，
在Rt△ACO中，tan∠COA=

AC

OC

，
∴AC=2

3

，
∴S_陰影=

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

=2

3

-

2π

3

．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點的綜合運用，題目比較好，難度適中．