Question

如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點P是對角線BD上的一點，PQ∥BA交AD于點Q，PS∥BC交DC于點S，四邊形PQRS是平行四邊形。

（1）當點P與點B重合時，圖1變?yōu)閳D2，若∠ABD＝90°，求證：△ABR≌△CRD；

（2）對于圖1，若四邊形PRDS也是平行四邊形，此時，你能推出四邊形ABCD還應滿足什么條件？

Answer 1

（1）證明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，∴CR⊥BD ∵BC=CD，

∴∠BCR=∠DCR

∵四邊形ABCR是平行四邊形，

∴∠BCR=∠BAR∴∠BAR=∠DCR

又∵AB=CR，AR=BC=CD，∴△ABR≌△CRD

（2）由PS∥QR，PS∥RD知，點R在QD上，故BC∥AD。

又由AB=CD知∠A=∠CDA 因為SR∥PQ∥BA，

所以∠SRD=∠A=∠CDA，從而SR=SD。

由PS∥BC及BC=CD知SP=SD。而SP=DR，所以SR=SD=RD  故∠CDA=60°。

因此四邊形ABCD還應滿足BC∥AD，∠CDA=60°

（注：若推出的條件為BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可。）