Question

如圖，A，P，B，C是⊙O上的四點(diǎn)，且滿足∠BAC=∠APC=60°，
（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（2）若⊙O半徑為7，AP=6，求圓心O到AP的距離．

Answer 1

解：（1）△ABC是等邊三角形，
理由如下：在△ABC中，
∵∠B=∠APC，且∠APC=60°，
∴∠B=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）過O作OD⊥AP，垂足為D，連接OA，
∴AD=AP，∠ADO=90°，
∵AP=6，
∴AD=3，
∴在R t△ADO中OD=，
∴圓心O到AP距離為2．
分析：（1）由∠BAC=∠APC=60°，根據(jù)圓周角定理，可求得△ABC的各內(nèi)角的度數(shù)，繼而證得△ABC是等邊三角形；
（2）首先過O作OD⊥AP，垂足為D，連接OA，易求得AP與AD的長(zhǎng)，又由勾股定理，求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．