Question

16．請完成下面的說明：

（1）如圖（1）所示，△ABC的外角平分線交于點G，試說明∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（2）如圖（2）所示，若△ABC的內角平分線交于點I，試說明∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（3）根據(jù)（1），（2）的結論，你能說出∠BGC和∠BIC的關系嗎？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形外角性質和三角形內角和定理得出∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA=180°，求出∠EBC+∠FCB=180°+∠A，求出∠2+∠3的度數(shù)，即可得出答案；
（2）求出∠6+∠8的度數(shù)，根據(jù)三角形內角和定理求出即可；
（3）根據(jù)（1）（2）的結論即可得出答案．

解答 解（1）
如圖1，∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA=180°，
∴∠EBC+∠FCB=180°+∠A，
∵BG、CG分別平分∠EBC、∠FCB，
∴$∠2+∠3=\frac{1}{2}（{∠EBC+∠FCB}）=\frac{1}{2}（{180°+∠A}）=90°+\frac{1}{2}∠A$，
∴$∠BGC=180°-（{∠2+∠3}）=90°-\frac{1}{2}∠A$；

（2）∵BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠6+∠8=\frac{1}{2}（{∠ABC+∠ACB}）=\frac{1}{2}（{180°-∠A}）=90°-\frac{1}{2}∠A$，
∴$∠BIC=180°-（{∠6+∠8}）=90°+\frac{1}{2}∠A$，
即$∠BIC=90°+\frac{1}{2}∠A$；

（3）∠BGC和∠BIC的關系是互補．

點評 本題考查了三角形內角和定理，三角形外角性質的應用，能正確根據(jù)定理進行推理是解此題的關鍵．