Question

（2010•朝陽區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AC=12，BD=16，E為AD的中點，點P在BD上移動，若△POE為等腰三角形，則所有符合條件的點P共有    個．

Answer 1

【答案】分析：首先可以確定的P點有3個：①以O(shè)為圓心OE為半徑作圓，與BD交于兩點，都符合P點的要求；②連接OE，OE的中垂線交BD于一點，此點也符合P點要求；
然后連接OE，過E作OD的垂線EF，易得EF是△AOD的中位線，結(jié)合菱形的性質(zhì)可證得EF垂直平分OD，因此OE=DE，即D點也符合P點的要求，所以共有4個點P．
解答：解：如圖①，首先可以確定的P點有三個：
一、以O(shè)為圓心OE為半徑作圓，⊙O交BD于P₁、P₂；
二、連接OE，作OE的垂直平分線，交BD于P₃；
如圖②，連接OE，過E作EF⊥OD于F；
由于四邊形ABCD是菱形，故AO⊥OD，即EF∥AO；
又∵E是AD中點，
∴F是OD的中點，
∴EF是△AOD的中位線，
即EF垂直平分OD，
∴OE=DE，故D點符合P點的要求；
綜上所述，符合條件的P點有4個．

故答案為4．
點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．