Question

閱讀探索：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？”（完成下列空格）

（1）當(dāng)已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為6和1時(shí)，小亮同學(xué)是這樣研究的：

設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和ｙ，由題意得方程組：，

消去y化簡(jiǎn)得：，

∵△＝49－48>0，∴=            ，=            .

∴滿足要求的矩形B存在.

（2）如果已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為2和1，請(qǐng)你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B.

（3）如果矩形A的邊長(zhǎng)為m和n，請(qǐng)你研究滿足什么條件時(shí)，矩形B存在？

 

Answer 1

【答案】

（1）2，；（2）不存在，理由見解析；（3）（m+n）²-8mn≥0，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）直接利用求根公式計(jì)算即可；

（2）參照（1）中的解法解題即可；

（3）解法同上，利用根的判別式列不等關(guān)系可求m，n滿足的條件．

試題解析：（1）由上可知（x-2）（2x-3）=0，

∴x₁=2，x₂=.

（2）不存在，理由如下：

設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意，得，

消去y化簡(jiǎn)，得2x²-3x+2=0.

∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B.

（3）（m+n）²-8mn≥0，理由如下

設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意，得，

消去y化簡(jiǎn)，得2x²-（m+n）x+mn=0.

△=（m+n）²-8mn≥0，即（m+n）²-8mn≥0時(shí)，滿足要求的矩形B存在．

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．