Question

如圖，雙曲線y₁=

k1

x

 與直線y₂=k₂x+5交于點(diǎn)P（1，4），Q（4，m），另一直線y₃=k₃x也經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q．
（1）求上述反比例函數(shù)和直線PQ的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)該直線與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，連接OP、OQ，求△OPQ的面積；
（3）結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)k₂x+5＞

k1

x

＞k₃x時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：

分析：（1）把P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求解析式，求出Q的坐標(biāo)，即可求出直線的解析式；
（2）求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合圖形得出即可．

解答：解：（1）∵雙曲線y₁=

k1

x

 過(guò)點(diǎn)P（1，4），
∴k₁=4×1=4，
∴反比例函數(shù)的解析式是y₁=

4

x

，
把Q（4，m）代入得：m=

4

4

=1，
即Q的坐標(biāo)是（4，1），
把Q的坐標(biāo)代入直線y₂=k₂x+5得：1=4k₂+5，
解得：k₂=-1，
即直線PQ的函數(shù)表達(dá)式是y=-x+5；

（2）∵y=-x+5，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=5，
當(dāng)y=0時(shí)，x=5，
即OA=5，OB=5，
∵P（1，4），Q（4，1），
∴△OPQ的面積S=S_△BOA-S_△BOP-S_△AOQ=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1=7.5；

（3）把Q（4，1）代入直線y₃=k₃x得：k₃=

1

4

，
即直線為y₃=

1

4

x，
∴直線y₃=

1

4

x和反比例函數(shù)y₁=

4

x

的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q（4，1），（-4，-1），
∴從圖象可知：寫出當(dāng)k₂x+5＞

k1

x

＞k₃x時(shí)x的取值范圍是：1＜x＜4或x＜-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力，題目比較好，難度適中．