Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c過點A、點C，且與x軸的另一交點為B（x，0），其中x＞0，又點P是拋物線的對稱軸l上一動點．
（1）求點A的坐標，并在圖1中的l上找一點P，使P到點A與點C的距離之和最�。�
（2）若△PAC周長的最小值為，求拋物線的解析式及頂點N的坐標；
（3）如圖2，在線段CO上有一動點M以每秒2個單位的速度從點C向點O移動（M不與端點C、O重合），過點M作MH∥CB交x軸于點H，設M移動的時間為t秒，試把△PHM的面積S表示成時間t的函數(shù)，當t為何值時，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，計算求出x的值，即可得到點A的坐標，根據(jù)軸對稱性，連接CB與對稱軸l的交點即為到點A與點C的距離之和最小的點；
（2）當點P在點P處時，△PAC的周長最小，此時三角形的周長等于AC+CB，再根據(jù)直線AC的解析式求出點C的坐標，再根據(jù)勾股定理求出AC的長，從而得到CB的長度，再次利用勾股定理列式求出OB的長度，從而得到點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進行計算求出拋物線解析式，轉(zhuǎn)化為頂點式形式寫出頂點坐標即可；
（3）先表示出OM的長度，然后判定△OMH和△OCB相似，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出MH的長度，過點M作MD⊥CB于點D，然后根據(jù)∠OCB的正弦列式求出MD的長度，再根據(jù)平行線間的距離相等，點P到MH的距離等于MD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列式并整理即可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．
解答：解：（1）令y=0，則x+8=0，
解得x=-6，
所以，點A的坐標為A（-6，0），
連接CB與直線l相交于一點，交點即為P；

（2）當點P在點P處時，△PAC的周長最小，
此時，可求點C的坐標為（0，8），
在Rt△AOC中，AC===10，
∵△PAC周長的最小值為10+2，
∴CB=10+2-10=2，
在Rt△BOC中，OB===10，
∴點B的坐標為（10，0），
∵點A（-6，0），B（10，0），C（0，8）都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+8，
∵y=-x²+x+8=-（x²-4x+4）++8=-（x-2）²+，
∴頂點N的坐標為（2，）；

（3）∵點M的速度是每秒2個單位，
∴OM=OC-CM=8-2t，
∵MH∥CB，
∴△OMH∽△OCB，
∴=，
即=，
解得MH=，
過點M作MD⊥CB于點D，則sin∠OCB==，
即=，
解得MD=t，
根據(jù)平行線間的距離可得，點P到MH的距離等于MD的長度，
所以，S=××t=-t²+10t，
∵8÷2=4，
∴0＜t＜4，
∵y=-t²+10t=-（t²-4t+4）+10=-（t-2）²+10，
∴當t=2時，S有最大值，最大值為10．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了最短路線問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點坐標的求解，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強，難度較大，需仔細分析，理清題目的數(shù)量關(guān)系與變化過程方可正確求解．