Question

以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中點，連接AM和DE．
（1）如圖1，△ABC中∠BAC=90°時，AM與ED大小的關(guān)系是______．AM與ED的位置關(guān)系是______；
（2）如圖2，△ABC為一般三角形時線段AM與ED的關(guān)系是______．試證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段AM與DE之間的關(guān)系，不要求證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）如圖，延長AM到N，使AM=MN，連接BN，延長MA交DE于H，
易證△BMN≌△CMA，
則BN=AC=AD，∠ABN=∠ABC+∠CBN=∠ABC+∠ACB=90°，
所以，△ADE≌△ACB，
所以，ED=AN=2AM，
故答案為：ED=2AM，AM⊥ED；

（2）ED=2AM，AM⊥ED；
證明：延長AM到N，使MN=AM，連BN，則ABNC是平行四邊形．
∴AC=BN，∠ABN+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠DAE．
再證：△DAE≌△ABN
∴DE=2AM，∠BAN=∠EDA．
延長MN交DE于K，
∵∠BAN+∠DAK=90°，
∴∠KDA+∠DAK=90°．
∴AM⊥ED．

（3）ED=2AM，AM⊥ED．
分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．由于△ABC是直角三角形，根據(jù)已知條件和斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以得到ED=BC=2AM，然后利用斜邊上的中線的性質(zhì)和已知條件可以證明AM⊥ED；
（2）ED=2AM，AM⊥ED．延長AM到N，使MN=AM，連BN，則ABNC是平行四邊形，再結(jié)合已知條件可以證明△DAE≌△ABN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=2AM，∠BAN=∠EDA，再延長MN交DE于K，因為∠BAN+∠DAK=90°，所以∠KDA+∠DAK=90°這樣就證明了AM⊥ED；
（3）ED=2AMAM⊥ED．根據(jù)（2）的證明過程可以知道，結(jié)論和等腰直角△ABE和△ACD的位置沒有關(guān)系，仍然可以得到△DAE≌△ABN，也即仍然結(jié)論成立．
點評：本題綜合考查了三角形全等的判定和平行四邊形的判定，此題是開放性試題，利用等腰直角三角形的性質(zhì)進行探究，由特殊到一般最后得到一般圖形變換的規(guī)律．