Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=60°，P是OB上一點(diǎn)，過P作AB的垂線與AC的延長線交于點(diǎn)Q，D是PQ上一點(diǎn)，且DC=DQ．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）如果CD=AB，求BP：PO的值．

Answer 1

（1）證明：連接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∵CD=DQ，
∴∠DCQ=∠Q，
∴∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：過點(diǎn)D作DH⊥CQ于點(diǎn)H，
設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=60°，
∴AC=AB•cos60°=r，BC=AB•sin60°=r，
∴∠Q=90°-∠BAC=30°，
∵DQ=CD=AB=r，
∴CH=QH=DQ•cos30°=r，
∴AQ=AC+CQ=（1+）r，
∴AP=AQ=r，
∴OP=AP-OA=r，BP=AB-AP=r，
∴BP：PO=（或 ）．
分析：（1）首先連接OC，由OA=OC，DC=DQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，易求得∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，即可得∠OCD=90°，則可證得DC是⊙O的切線；
（2）首先過點(diǎn)D作DH⊥CQ于點(diǎn)H，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，易求得AP=AQ=r，繼而求得BP與OP的長，繼而求得答案．
點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．