Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)B在原點(diǎn)上，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，QP⊥AP交DC于Q，設(shè)PB=x，△ADQ的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）（1）中函數(shù)若是一次函數(shù)，求出直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，若是二次函數(shù)，請(qǐng)利用配方法求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P是否存在這樣的位置，使△APB的面積是△ADQ的面積的

2

3

，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）Rt△ADQ中，已知了直角邊AD的長(zhǎng)，欲求其面積，需求得直角邊DQ的長(zhǎng)；已知∠APQ=90°，顯然△ABP∽△PCQ，用x表示出BP、CP的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得CQ的表達(dá)式，可得到DQ的表達(dá)式，從而根據(jù)直角三角形的面積公式求出y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由（1）可知，y、x的函數(shù)關(guān)系式是個(gè)二次函數(shù)，用配方法將其解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程．
（3）可根據(jù)（1）所得拋物線的解析式，通過(guò)描點(diǎn)、連線畫出此拋物線的圖象．由于BP=x，易知△ABP的面積為2x，根據(jù)△ABP和△ADQ的面積關(guān)系，可得到關(guān)于x的方程，通過(guò)解方程可求得x的值即BP的長(zhǎng)（注意x的值應(yīng)符合自變量的取值范圍），從而確定出點(diǎn)P在線段BC上的位置．

解答：解：（1）畫出圖形，
設(shè)QC=z，由Rt△ABP∽R(shí)t△PCQ，

4

4-x

=

x

z

，
z=

x(4-x)

4

，①
y=

1

2

×4×（4-z），②
把①代入②y=

1

2

x²-2x+8（0＜x＜4）．
（2）y=

1

2

x²-2x+8=

1

2

（x-2）²+6，
∴對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）．

（3）如圖所示；
存在，由S_△APB=

2

3

S_△ADQ，可得y=3x，
∴

1

2

x²-2x+8=3x，
∴x=2，x=8（舍去），
∴當(dāng)P為BC的中點(diǎn)（2，0）時(shí)，△PAB的面積等于△ADQ的面積的

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)也是一道探索性問(wèn)題．在實(shí)際問(wèn)題中，自變量的取值應(yīng)結(jié)合實(shí)際意義確定．