Question

11．為了給草坪噴水，安裝了自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴水器，如圖所示．設(shè)直線AD所在位置為地平面，噴水管AB高出地平面1.5m，在B處有一個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭，一瞬間噴出的水流呈拋物線狀．噴頭B與水流最高點(diǎn)C的連線與地平面成45°的角，水流的最高點(diǎn)C離地平面3.5m，水流的落地點(diǎn)為D．在建立如圖所示的直角坐標(biāo)系中：
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）求水流的落地點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）把拋物線的問題放到直角坐標(biāo)系中解決，是探究實(shí)際問題常用的方法，本題關(guān)鍵是解等腰直角三角形，求出拋物線頂點(diǎn)C（2，3.5）及B（0，1.5），設(shè)頂點(diǎn)式求解析式；
（2）求AD，實(shí)際上是求當(dāng)y=0時(shí)點(diǎn)D橫坐標(biāo)．

解答 解：在如圖所建立的直角坐標(biāo)系中，
由題意知，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1.5），∠CBE=45°，
∴△BEC為等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3.5），
（1）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為
y=ax²+bx+c（a≠0），
則拋物線過點(diǎn)（0，1.5）頂點(diǎn)為（2，3.5），
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=c=1.5
由-$\frac{2a}$，得b=-4a，
由$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，得$\frac{6a-16{a}^{2}}{4a}$，
解之，得a=0（舍去），a=-$\frac{1}{2}$，
∴b=-4a=2．
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$；

（2）∵D點(diǎn)為拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$的圖象與x軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時(shí)，即：-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$=0，
解得x=2±$\sqrt{7}$，
x=2-$\sqrt{7}$不合題意，舍去，取x=2+$\sqrt{7}$．
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2+$\sqrt{7}$，0），
∴AD=（2+$\sqrt{7}$）（m）．
答：水流的落地點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離是（2+$\sqrt{7}$）m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．