Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF

（1）如圖1，當點D在線段BC上時．求證CF+CD=BC；

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；

（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；

①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；

②若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE，DF相交于點O，連接OC 求OC的長度．

Answer 1

（1）證明見解析（2）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC；②OC=2．

【解析】（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，

則在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF

∵BD+CD=BC∴CF+CD=BC

（2）CF﹣CD=BC；

（3）（3）①CD﹣CF=BC

②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，

∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD，

∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，

∴∠FCD=90°∴△FCD是直角三角形�！哒�方形ADEF的邊長為2且對角線AE、 DF

相交于點O   ∴DF=AD=4，O為DF中點∴OC=DF=2．