Question

【題目】若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，則稱為的中雅函數(shù)，如：是的中雅函數(shù)．

(1)判斷二次函數(shù)是否為一次函數(shù)的中雅函數(shù)，并說明理由；

(2)若關(guān)于的一次函數(shù)的中雅函數(shù)與軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，求直線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積；

(3)已知關(guān)于的一次函數(shù)的中雅函數(shù)為，與平行的直線交中雅函數(shù)的圖象于、兩點(diǎn)，若軸上有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入，判斷是否是上的點(diǎn)即可求解．

（2）先求出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)是一次函數(shù)的中雅函數(shù)，列出等式，將m用n表示出來，設(shè)與軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為x1，x2

兩點(diǎn)間距離，求出n，即可求出m，得出直線解析式，即可求出直線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積．

（3）求出的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)是一次函數(shù)的中雅函數(shù)，得出，已知直線與平行，即可得出，再求出與交點(diǎn)A、B坐標(biāo)，AB長(zhǎng)，AB中點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，軸上有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得，則說明以AB為直徑的圓與x軸相切，則點(diǎn)C縱坐標(biāo)等于以AB為直徑的圓的半徑，列出等式即可求出k．

（1）∵

，

∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-5)

當(dāng)x=1時(shí)，≠-5

∴二次函數(shù)不是一次函數(shù)的中雅函數(shù)

故答案為：二次函數(shù)不是一次函數(shù)的中雅函數(shù)，理由見解析

（2）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

，

∵是一次函數(shù)的中雅函數(shù)

∴

解得

∵與軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為x1，x2

∵，

解得n=±6

當(dāng)n=6時(shí)，m=

當(dāng)n=-6時(shí)，m=

或

一次函數(shù)中，

令x=0，y=-3

令y=0，x=9

與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為

一次函數(shù)中

令x=0，y=3

令y=0，x=-9

與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為

∴直線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為

故答案為：

（3）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

，

∵是一次函數(shù)的中雅函數(shù)

∴

∴

∵直線與平行

∴n=m=3k

∴

設(shè)與交于A、B兩點(diǎn)

令

解得x=3或x=-1

∴A(-1,4k)，B(3,16k)

∴AB=

取AB的中點(diǎn)C，則C點(diǎn)縱坐標(biāo)為6k+4k=10k

若軸上有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得，則說明以AB為直徑的圓與x軸相切

則點(diǎn)C縱坐標(biāo)等于以AB為直徑的圓的半徑

即10k=

解得k=±

又∵k＞0

∴k=

故答案為：