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1.若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同,則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.
(1)請寫出兩個頂點在y軸上“同簇二次函數(shù)”;
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+4,其中y1的圖象經(jīng)過點A(1,1),若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求出當(dāng)0≤x≤3時,y2的最大值;
(3)二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+4的圖象與y軸分別交于點A、B兩點,在拋物線y1上取一點C,拋物線y2上取一點D,若以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形,請直接寫出點C的坐標(biāo).

分析 (1)依據(jù)“同簇二次函數(shù)”定義,隨便寫兩個即可;
(2)由y1的圖象經(jīng)過點A(1,1),找出m的值,再由y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”,找出a、b的值即可,再將函數(shù)y2的表達(dá)式變?yōu)轫旤c式,即能找到何時取最大值;
(3)分兩種情況考慮:①線段AB為對角線,找到AB中點坐標(biāo),利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì),設(shè)出C點坐標(biāo),即可以得出D點坐標(biāo),將D點坐標(biāo)代入函數(shù)y2的表達(dá)式中,即可求得出結(jié)論;②線段AB為一條邊,此時還分兩種情況,一種點C在D的上方,一種點C在D的下方,由平行四邊形對比平行且相等即可求出結(jié)論.

解答 解:(1)根據(jù)“同簇二次函數(shù)”的定義可知,
y=x2+2與y=3x2+2是“同簇二次函數(shù)”.
(2)∵點A(1,1)在二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1的圖象上,
∴有1=2-4m+2m2+1,解得m=1.
∴y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
即二次函數(shù)y1=2x2-4x+3開口向上,頂點坐標(biāo)為(1,1).
y1+y2=(2+a)x2+(b-4)x+7=(2+a)x+b44+2a2+7-b4242+a
∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”,
∴有{2+a0b44+2a=17b4242+a=1,解得{a=4b=8
∴y2=4x2-8x+4.
∵y2=4x2-8x+4=4(x-1)2
∵在0≤x≤3中,當(dāng)x=3時,y2=4(3-1)2=16,
∴當(dāng)x=3時,y2有最大值,最大值等于16.
(3)以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況:
①以AB為對角線,令四邊形對角線的交點為M,如圖1.

∵二次函數(shù)y1=2x2-4x+3和y2=4x2+8x+4的圖象與y軸分別交于點A、B兩點,
∴點A(0,3),點B(0,4).
設(shè)C點坐標(biāo)為(m,2m2-4m+3),
∵四邊形ADBC為平行四邊形,
∴對角線互相平分,
∴點M(0,72),點D(-m,4-2m2+4m).
又∵點D在二次函數(shù)y2=4x2-8x+4圖象上,
∴有4-2m2+4m=4m2+8m+4,即6m2+4m=0,
解得:m=-23或m=0(舍去).
此時C點坐標(biāo)為(-23,599);
②當(dāng)AB為邊的時候,如圖2.

當(dāng)C在點D的下方時,設(shè)C點坐標(biāo)為(m,2m2-4m+3),則D點坐標(biāo)為(m,2m2-4m+4).
又∵點D在二次函數(shù)y2=4x2-8x+4圖象上,
∴有2m2-4m+4=4m2-8m+4,即2m2-4m=0,
解得:m=2,或m=0(舍去).
此時C點坐標(biāo)為(2,3);
當(dāng)C在點D的上方時,設(shè)C點坐標(biāo)為(m,2m2-4m+3),則D點坐標(biāo)為(m,2m2-4m+2).
又∵點D在二次函數(shù)y2=4x2-8x+4圖象上,
∴有2m2-4m+2=4m2-8m+4,即2m2-4m+2=0,
解得:m=1.
此時C點的坐標(biāo)為(1,1).
綜上得:若以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形,則C點的坐標(biāo)為(-23,599),(2,3)和(1,1).

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合運用,解題的關(guān)鍵是:(1)讀懂題意,弄明白什么是“同簇二次函數(shù)”;(2)寫出y1+y2與y1的頂點式;(3)設(shè)出C點坐標(biāo)(m,2m2-4m+3),分兩種情況考慮,找出關(guān)于m的二元一次方程,解方程即可.

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拓展應(yīng)用:
若a=6,b=4,現(xiàn)有長為30cm,寬為10cm的長方形白紙條共30張.問如何分配30張長方形白紙條,才能使霞霞和瑤瑤按各自要求粘合起來的長方形面積相等(要求30張長方形白紙條全部用完)?若能,請求出霞霞和瑤瑤分別分配到幾張長方形白紙條;若不能,請說明理由.

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