Question

如圖，AB、CD是兩個過江電纜的鐵塔，塔AB高40米，AB的中點為P，塔底B距江面的垂直高度為6米，跨江電纜因重力自然下垂近似成拋物線形，為了保證過往船只的安全，電纜下垂的最低點距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B點西50米的地面E點恰好看到E、P、C在一直線上；再向西前進150米后從地面F點恰好看到點F、A、C在一直線上．

(1)求兩鐵塔軸線間的距離(即直線AB、CD間的距離)；

(2)若以點A為坐標原點，向東的水平方向為x軸，取單位長度為1米，BA的延長方向為y軸建立坐標系．求剛好滿足最低高度要求的這個拋物線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

　　答：兩鐵塔軸線間的距離為100米．

　　(2)答：所求拋物線的解析式為

　　解：如圖，AB＝40米，BP＝20米，BE＝50米，BF＝50＋150＝200(米)．設(shè)CD的延長線交地平面于點H．

　　(1)設(shè)CH＝x，BH＝y(tǒng)

　　由△EBP∽△EHC得，

　　

　　由△FBA∽△FHC得

　　

　　由①②解得：x＝60，y＝100

　　(2)依題意建立坐標系如圖，由(1)得CH＝60米，C點比A點高20米，這時A、C兩點的坐標為：A(0，0)，C(100，20)，設(shè)拋物線頂點為P(x₀，y₀)，因為要求最低點高于地面為30－6＝24(米)，點高度為40米，所以y₀＝－16．設(shè)過點A的拋物線解析式為y＝ax²＋bx(a＞0)，則該拋物線滿足：

　　

　　化簡得：125b²＋80b－16＝0解得b₁＝，b₂b＝

　　∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，有＞0，而a＞0

　　∴b＜0，故b₁＝舍去

　　把b＝代入前式得：a＝