Question

如圖，△ABC中∠BAC=60°，AB=2AC．點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=

3

，PB=5，PC=2，則∠APC的度數(shù)為

 

，△ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理

專題：

分析：首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ與△ACP相似比為2，繼而可得△APQ與△BPQ是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求得△ABC的面積．

解答：解：如圖，作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，
則△ABQ∽△ACP，
∵AB=2AC，
∴△ABQ與△ACP相似比為2，
∴AQ=2AP=2

3

，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵AQ：AP=2：1，
∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，
∴PQ=

AQ2-AP2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
∴BP²=25=BQ²+PQ²，
∴∠BQP=90°，
∴∠APC=∠AQB=90°+30°=120°；
作AM⊥BQ于M，
由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，
∴∠AQM=60°，QM=

3

，AM=3，
∴AB²=BM²+AM²=（4+

3

）²+3²=28+8

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•ACsin60°=

3

8

AB²=

6+7 3

2

，
故答案為：120°，

6+7 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是輔助線的構(gòu)造，還要注意勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用．