Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，DO⊥AB于點O，CD是⊙O的切線，切點為C，連接AC，交OD于點E．
（1）求證：∠DCE=∠DEC；
（2）若AB=17，AC=15，求CE的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OC，由CD是⊙O的切線，切點為C，可得OC⊥CD，又由DO⊥AB，根據(jù)等角的余角相等，可證得：∠DCE=∠DEC；
（2）易證得△AEO∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AE的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O的切線，切點為C，
∴OC⊥CD，
即∠OCD=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∵OD⊥AB，
∴∠DEC=∠AEO=90°-∠A，
∵∠DCE=90°-∠OCA，
∴∠DCE=∠DEC；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=17，
∴OB=

17

2

，
∵∠AOE=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AEO∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AO

AC

，
∴

AE

17

=

17 2

15

，
∴AE=

289

30

，
∴CE=AC-AE=15-

289

30

=

161

30

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．