Question

下圖是輸水管的切面，陰影部分是有水部分，其中水面AB寬16cm，水最深4cm．
（1）求輸水管的半徑．
（2）當∠AOB=120°時，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點：垂徑定理的應用,勾股定理,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）設圓形切面的半徑為r，過點O作OD⊥AB于點D，交⊙O于點E，由垂徑定理可求出BD的長，再根據最深地方的高度是4cm得出OD的長，根據勾股定理即可求出OB的長．
（2）先求得AB、OD，然后根據S_陰影=S_扇形-S_△AOB即可求得．

解答：解：（1）設圓形切面的半徑，過點O作OD⊥AB于點D，交⊙O于點E，
則AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×16=8cm，
∵最深地方的高度是4cm，
∴OD=r=4，
在Rt△OBD中，
OB²=BD²+OD²，即r²=8²+（r-4）²，
解得r=10（cm）．
（2）∵∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OD=

1

2

OA=5cm，AD=

3

2

OA=5

3

cm，
∴AB=10

3

cm，
∴S_陰影=S_扇形-S_△AOB=

120×π×102

360

-

1

2

×10

3

×5=

100π-75 3

3

（cm）²．

點評：本題考查的是垂徑定理的應用，解答此類問題的關鍵是作出輔助線，構造出直角三角形，利用垂徑定理及勾股定理進行解答．