Question

如圖，先把一矩形ABCD紙片對(duì)折，設(shè)折痕為MN，再把點(diǎn)B疊在折痕線上，得到△ABE．過點(diǎn)B折紙片，使折痕PQ⊥MN于B．
（1）求證：△BEP∽△ABQ；
（2）求證：BE²=AE•PE；
（3）如果沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)A是否能疊在直線EC上？請(qǐng)簡單說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過證明∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，得出：△BEP∽△ABQ；
（2）證明

BE

AB

=

PE

PB

，即

BE

EP

=

AB

PB

，∠ABE=∠BPE=90°，得出△PBE∽△BAE從而問題得證；
（3）由∠AEB=∠CEB可知A能疊在直線EC上．

解答：（1）證明：∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）證明：∵△PBE∽△QAB，
∴

BE

AB

=

PE

BQ

．
∵由折疊可知BQ=PB．
∴

BE

AB

=

PE

PB

，即

BE

PE

=

AB

PB

．
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE，
∴

BE

AE

=

PE

BE

，
即BE²=AE•PE；

（3）解：點(diǎn)A能疊在直線EC上．理由如下：
∵△PBE∽△BAE，
∴∠AEB=∠PEB，
則沿EB所在的直線折疊，點(diǎn)A能折疊到直線EC上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握?qǐng)D形的變化中翻折變換（折疊問題）的特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．