Question

已知拋物線y=

1

2

x²-mx+2m-

7

2

的頂點為點C．
（1）求證：不論m為何實數，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）若拋物線的對稱軸為直線x=-3，求m的值和C點坐標；
（3）如圖，直線y=x-1與（2）中的拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．直線x=k交直線AB于點M，交拋物線于點N．求當k為何值時，以C，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,平行四邊形的判定與性質

專題：

分析：（1）從

1

2

x²-mx+2m-

7

2

=0的判別式出發(fā)，判別式總大于等于3，而證得；
（2）根據拋物線的對稱軸x=-

b

2a

=-3來求m的值；然后利用配方法把拋物線解析式轉化為頂點式，由此可以寫出點C的坐標；
（3）根據平行四邊形的性質得到：MN=|k-1-（

1

2

k²-3k+

5

2

）|=CD=4．             
需要分類討論：①當四邊形CDMN是平行四邊形，MN=k-1-（

1

2

k²-3k+

5

2

）=4，通過解該方程可以求得k的值；
②當四邊形CDNM是平行四邊形，NM=

1

2

k²-3k+

5

2

-（k-1）=4，通過解該方程可以求得k的值．

解答：解：（1）△=（-m）²-4×

1

2

×（2m-

7

2

）=（m-2）²+3，
∵不論m為何實數，總有（m-2）²≥0，
∴△=（m-2）²+3＞0，
∴無論m為何實數，關于x的一元二次方程

1

2

x²-mx+2m-

7

2

=0總有兩個不相等的實數根，
∴無論m為何實數，拋物線y=

1

2

x²-mx+2m-

7

2

與x軸總有兩個不同的交點；

（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=3，
∴-

-m

2× 1 2

=3，即m=3，
此時，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-3x+

5

2

=

1

2

（x-3）²-2，
∴頂點C坐標為（3，-2）． 

（3）∵CD∥MN，C，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形．
由已知D（3，2），M（k，k-1），N（k，

1

2

k²-3k+

5

2

），
∵C（3，-2），
∴CD=4．
∴MN=|k-1-（

1

2

k²-3k+

5

2

）|=CD=4．             
①當四邊形CDMN是平行四邊形，
MN=k-1-（

1

2

k²-3k+

5

2

）=4，
整理得k²-8k+15=0，
解得k₁=3（不合題意，舍去），k₂=5；

②當四邊形CDNM是平行四邊形，
NM=

1

2

k²-3k+

5

2

-（k-1）=4，
整理得k²-8k-1=0，
解得k₃=4+

17

，k₄=4-

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，．
綜上所述，k=5，或k=4+

17

，或k=4-

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時，可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數法求二次函數解析式，拋物線的頂點公式和平行四邊形的判定與性質．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．