Question

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．

（1）求經(jīng)過點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（2）求拋物線的對(duì)稱軸與線段OB交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）線段OB與拋物線交與點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段OE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，點(diǎn)E重合），過P點(diǎn)作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，問：在線段OE上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PD=CM？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）在Rt△AOB中，根據(jù)AO的長和∠BOA的度數(shù)，可求得OB的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過C作CD⊥x軸于D，即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長求得CD、OD的值，從而求出點(diǎn)C、A的坐標(biāo)，將A、C、O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．

（2）求出直線BO的解析式，進(jìn)而利用x=求出y的值，即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)（1）所得拋物線的解析式可得到其頂點(diǎn)的坐標(biāo)（即C點(diǎn)），設(shè)直線MP與x軸的交點(diǎn)為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據(jù)∠PON的度數(shù)，易得PN、ON的長，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和拋物線的解析式可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過M作MF⊥CD（即拋物線對(duì)稱軸）于F，過P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根據(jù)C、M、P、D四點(diǎn)縱坐標(biāo)，易求得CF、QD的長，聯(lián)立兩式即可求出此時(shí)t的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：

解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H；

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，

∴OB==4，AB=2；

由折疊的性質(zhì)知：∠COB=30°，OC=AO=2，

∴∠COH=60°，OH=，CH=3；

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）．

∵O點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），

∴拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），

∵圖象經(jīng)過C（，3）、A（2，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得；

∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x²+2x．

（2）∵AO=2，AB=2，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，2），

∴設(shè)直線BO的解析式為：y=kx，

則2=2k，

解得：k=，

∴y=x，

∵y=﹣x²+2x的對(duì)稱軸為直線x=﹣=﹣=，

∴將兩函數(shù)聯(lián)立得出：y=×=1，

∴拋物線的對(duì)稱軸與線段OB交點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，1）；

（3）存在．

∵y=﹣x²+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），

即為點(diǎn)C，MP⊥x軸，垂足為N，設(shè)PN=t；

∵∠BOA=30°，

∴ON=t，

∴P（t，t）；

作PQ⊥CD，垂足為Q，MF⊥CD，垂足為F；

把x=t代入y=﹣x²+2x，

得y=﹣3t²+6t，

∴M（t，﹣3t²+6t），F(xiàn)（，﹣3t²+6t），

同理：Q（，t），D（，1）；

要使PD=CM，只需CF=QD，

即3﹣（﹣3t²+6t）=t﹣1，

解得t=，t=1（舍），

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

∴存在滿足條件的P點(diǎn)，使得PD=CM，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

點(diǎn)評(píng)：

此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定等重要知識(shí)點(diǎn)，表示出P點(diǎn)坐標(biāo)利用CF=QD求出是解題關(guān)鍵．