Question

已知：如圖，在▱ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．

（1）求證：BE=DG；

（2）若∠BCD=120˚，當AB與BC滿足什么數量關系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結論．

Answer 1

【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質；平移的性質．

【分析】（1）根據平移的性質，可得：BE=FC，再證明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；

（2）要使四邊形ABFG是菱形，須使AB=BF；根據條件找到滿足AB=BF的AB與BC滿足的數量關系即可．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD．

∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．

∴CG⊥AD．

∴∠AEB=∠CGD=90°．

∵AE=CG，AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG．

∴BE=DG；

（2）解：當BC=AB時，四邊形ABFG是菱形．

證明：∵AB∥GF，AG∥BF，

∴四邊形ABFG是平行四邊形．

∵Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE=AB．（直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半）

∵BE=CF，BC=AB，

∴EF=AB．

∴AB=BF．

∴四邊形ABFG是菱形．