Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠D=30°．
（1）求證：CA=CD；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積S．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠A=∠D，
∴CA=CD；

（2）解：過(guò)O作OE⊥AC于E，
∵∠A=30°，A0=2，
∴OE=1，
∴AE=CE=，
∴AC=2
∴S_△AOC=×AC×OE=，
∵∠COB=60°，OC=2，
∴S_扇形COB=•π×4=π，
∴圖中陰影部分的面積S=S_△AOC+S_扇形COB=+π．
分析：（1）連接OC，利用切線的性質(zhì)和圓的半徑相等即可證明CA=CD；
（2）過(guò)O作OE⊥AC于E，由圖可知，圖中陰影部分的面積S=S_△AOC+S_扇形COB，分別求出三角形的面積和扇形的面積即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式和扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是連接圓心和切點(diǎn)構(gòu)造垂直．