Question

2．定義：圖象開口方向相同，且都經過同一點的所有二次函數稱為共點二次函數系，比如函數y=2x²+bx+c，當b+c=1時，它們的圖象都經過定點（1，3），且開口都向上，稱所有二次函數y=2x²+bx+c為共點（1，3）開口向上的二次函數系．
（1）已知二次函數y=ax²+bx+c（c≠0）與y=x²-2x+n是共點二次函數，當a+b+c=1時，求n的值；
（2）已知函數y=x²+bx+c圖象過定點（-2，1），且開口向上的共點二次函數系，試求該二次函數系的最小值能夠達到的最大結果．

Answer 1

分析 （1）由當x=1時函數值為y=a+b+c=1，得出共點坐標為（1，1），代入y=x²-2x+n即可求得n；
（2）把（-2，1）代入y=x²+bx+c求得c=2b-3，根據最小值的公式得出最小值=-$\frac{1}{4}$（b-4）²+1≤1，即可求得最小值能夠達到的最大結果．

解答 解（1）二次函數y=ax²+bx+c（c≠0）當x=1時y=a+b+c，
∵a+b+c=1，
∴共點為（1，1），
代入y=x²-2x+n得，1=1-2+n，解得n=2；
（2）把（-2，1）代入y=x²+bx+c得，1=4-2b+c，
則c=2b-3，
二次函數的最小值為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{4（2b-3）-^{2}}{4}$=-$\frac{1}{4}$b²+2b-3=-$\frac{1}{4}$（b-4）²+1≤1，
故該二次函數系的最小值能夠達到的最大結果是1．

點評 本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握函數的頂點公式是解題的關鍵．