Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△ECD，連接AE，求證：△ADE是等腰三角形．

Answer 1

證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
同理△ECD為等邊三角形，可得CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴BD=AE，
∵D為AB的中點(diǎn)，∴BD=AD，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形．
分析：由三角形ABC為等邊三角形，得到邊BC與AC相等及∠ACB=60°，同理，由△ECD為等邊三角形，可得CD與CE相等及∠DCE=60°，等量代換可得∠ACB=∠DCE，等號(hào)兩邊同時(shí)減去∠ACD，可得∠BCD與∠ACE相等，利用SAS可證明三角形BCD與三角形ACE全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得BD與AE相等，又D為AB的中點(diǎn)，可得BD=AD，等量代換可得AD=AE，即三角形ADE為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，三角形中的邊角相等可利用三角形的全等來證明，本題要求學(xué)生借助圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)及等量代換的方法，找出判定三角形全等的條件，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD與AE相等，最后根據(jù)中點(diǎn)定義及等量代換得到目的．