Question

如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點，以E為圓心、EC為半徑的半圓與以A為圓心，AB為半徑的圓弧外切，則S_{四邊形ADCE}：S_{正方形ABCD}的值為________．

Answer 1

分析：過點E作EF垂直于AD，交AD于點F，設(shè)EC=x，AB=y，由ABCD為正方形得到四條邊相等，四個角為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到DCEF為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE=DF，EF=DC，由AD-DF=AD-EC=y-x，再由兩半圓外切，得到兩圓心距等于兩半徑相加，可得出AE=x+y，在直角三角形AEF中，利用勾股定理列出關(guān)系式，整理后得到y(tǒng)=4x，由四邊形AECD為直角梯形，利用直角梯形的面積公式表示出梯形AECD的面積，再利用正方形的面積公式表示出ABCD的面積，將x=y代入，整理后即可求出所求的比值．
解答：過E作EF⊥AD，交AD于點F，如圖所示：
可得∠EFA=90°，
設(shè)EC=x，AB=y，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB=BC=CD=y，∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴DFEC為矩形，
∴EF=DC=y，AF=AD-DF=AD-CE=y-x，
∵圓E與圓A外切，
∴AE=x+y，
在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得：AE²=EF²+AF²，
即（x+y）²=y²+（y-x）²，
整理得：y=4x，即x=y，
∴S_梯形ADCE=（EC+AD）•CD=y（x+y）=y²，S_{正方形ABCD}=y²，
則S_{四邊形ADCE}：S_{正方形ABCD}=y²：y²=．
故答案為：．
點評：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，以及梯形、正方形面積的求法，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．