Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=12厘米，點(diǎn)D在AC上，CD=3厘米．點(diǎn)P、Q分別由A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，速度為每秒是k厘米；點(diǎn)Q沿CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，速度為每秒1厘米．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（0＜x＜8），△DCQ的面積為y₁平方厘米，△PCQ的面積為y₂平方厘米．
（1）求y₁與x的函數(shù)關(guān)系，并在圖2中畫(huà)出y₁的圖象；
（2）如圖2，y₂的圖象是拋物線的一部分，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，12），求k的值和y₂與x的函數(shù)關(guān)系；
（3）在圖2中，設(shè)y₁與y₂的圖象的交點(diǎn)為M，點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)（0＜OG＜6），過(guò)G作EF垂直于x軸，分別與y₁、y₂的圖象交于點(diǎn)E、F．求△OMF面積的最大值．
①說(shuō)出線段EF的長(zhǎng)在圖1中所表示的實(shí)際意義；
②求△OMF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)三角形的面積公式可得y₁=

3

2

x；
（2）先設(shè)y₂=

1

2

x（12-kx）=-

k

2

x²+6x，把x=12時(shí)，y₂=12代入解析式可求得k=

3

2

，即y₂=-

3

4

x²+6x；
（3）①線段是長(zhǎng)EF=y₂-y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ的面積），由

3

2

x=-

3

4

x₂+6x得點(diǎn)M（6，9），過(guò)點(diǎn)M做MH⊥EF于點(diǎn)H，則S_△OMF=S_△OEF+S_△MEF=3EF=3（-

3

4

x²+6x-

3

2

x）=-

9

4

（x-3）²+

81

4

，所以當(dāng)x=3時(shí)，△OMF的面積有最大值為

81

4

．

解答：解：（1）y₁=

3

2

x
畫(huà)圖正確（2分）

（2）y₂=

1

2

x（12-kx）=-

k

2

x²+6x   （4分）
由題設(shè)：當(dāng)x=4時(shí)，y₂=12，
所以-8k+24=12，
解得k=

3

2

（5分）
從而y₂=-

3

4

x²+6x   （6分）

（3）①線段是長(zhǎng)EF=y₂-y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ的面積）（7分）
②解法一：由

3

2

x=-

3

4

x₂+6x
得點(diǎn)M（6，9）
過(guò)點(diǎn)M做MH⊥EF于點(diǎn)H，則S_△OMF=S_△OEF+S_△MEF=

1

2

EF．
OG+

1

2

EF．MH=

1

2

EF×6=3EF（9分）
=3（-

3

4

x²+6x-

3

2

x）=-

9

4

（x-3）²+

81

4

（10分）
所以當(dāng)x=3時(shí)，△OMF的面積有最大值為

81

4

（12分）
解法二：由

3

2

x=-

3

4

x₂+6x得點(diǎn)M（6，9）
過(guò)點(diǎn)M做MH⊥x軸于點(diǎn)N，則
S_△OMF=S_{四邊形ONMF}-S_△ONM=S_△OGF+S_梯形FGNM-S_△ONM（9分）
=-

9

4

x²+

27

2

x   （10分）
所以當(dāng)x=3時(shí)，△OMF的面積有最大值為

81

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合在一起，利用圖形間的“和差“關(guān)系求解．