Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，且AB為6，過B點作⊙O的切線CB與⊙O相切于點B，在半圓AB上有一點D使∠ABD=30°，BD的中點為E，連接OE并延長OE與BC交于點C，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）四邊形ABCD的周長是多少？

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵OE是BD的中點且BO=DO，
∴OE⊥BD，
∴CE⊥BD，
∵BE=DE，
∴BC=DC，
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠DBC=60°，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BC=BD=CD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，AB=6，
∴AD=AB=×=3，BD===，
∴四邊形ABCD的周長為：++3+6=9+．
分析：（1）連接OD，根據(jù)OB=OD，E是BD的中點可知OC是線段BD的垂直平分線，再根據(jù)全等三角形的判定定理可判定出△OBC≌△ODC，再由BC是⊙O的切線可得出∠OBC=90°，由全等三角形的性質可得出∠ODC=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）先根據(jù)BC是⊙O的垂線及∠ABD的度數(shù)可求出∠DBC的度數(shù)，再由BC=CD可知△BDC是等邊三角形，故BC=BD=CD，再由直角三角形的性質可得出AD、BD的長，進而可求出答案．
點評：本題考查的是切線的判定與性質、圓周角定理及線段垂直平分線的性質、等邊三角形的判定與性質，涉及面較廣，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵．