Question

以△ABC的兩邊AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG．△ABC的高為AH．求證：AH，BF，CD交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析：作輔助線，MB，MC，并且求證△MAC≌△BCF，進(jìn)而求證BF⊥MC，CD⊥MB，從而證明CD，BF，AH為三角形的三條高，根據(jù)三角形三條高交與一點(diǎn)求證．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)HA到M，
使AM=BC．連CM，BM．
設(shè)CM與BF交于點(diǎn)K．
在△ACM和△BCF中，
AC=CF，AM=BC，
∠MAC+∠HAC=180°，
∠HAC+∠HCA=90°，
并且∠BCF=90°+∠HCA，
因此∠BCF+∠HAC=180°，
∠MAC=∠BCF．
從而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB．
所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°，
即BF丄MC．
同理CD丄MB．AH，BF，CD為△MBC的3條高線，故AH，BF，CD三線交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形三條高交與一點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形各角均為90°求證，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△MBC，在△MBC中求證3條線段為三角形的3條高．