Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C，P的坐標分別為（0，2），（3，2），（2，3），（1，1）．
（1）請在圖中畫出△A′B′C′，使得△A′B′C′與△ABC關于點P成中心對稱；
（2）若一個二次函數的圖象經過（1）中△A′B′C′的三個頂點，求此二次函數的關系式；
（3）請求出△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據圖形中心對稱的性質作出圖形；
（2）由圖象A′，B′兩點在x軸上設出函數兩點式解析式為：y=a（x-2）（x+1），又有點C′在圖象上，代入求出a值，從而求出二次函數的解析式；
（3）先根據三角形外接圓圓心的性質：三邊垂直平分線的交點，求出外接圓圓心坐標，然后再求出三角形外接圓半徑．

解答：解：（1）如下圖：
；
（2）由函數圖象可知：二次函數過點（-1，0）、（2，0）、（0，-1），
∴可以設二次函數解析式為：y=a（x-2）（x+1），
再把點（0，-1）代入函數解析式得，
-1=-2a，
∴a=

1

2

，
∴二次函數的關系式為：y=

1

2

(x-2)(x+1)；

（3）已知點A（0，2），B（3，2），C（2，3），
∵AB垂直平行x軸，
可設三角形ABC的圓心為：O′（

3

2

，y），
根據三角形外接圓的性質，知：O′A=O′C，
∴

9

4

+y2=(

3

2

-2)2+(y-3)2，（y＞0）
解得y=

3

2

；
∴外接圓圓心O′坐標為(

3

2

，

3

2

)，
R=半徑=AO′=

1

2

10

．

點評：（1）第一問考查中心對稱圖形的性質，對應點的連線互相平行且關于對稱中心對稱；
（2）此問設出合適的函數解析式是解題的關鍵，注意觀察A′，B′兩點坐標的特點；
（3）第三問考查三角形外接圓的性質及應用，三角形外接圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，然后根據圓心又可以求出其半徑．