如圖,已知直線l的解析式為y=-x+6,它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,平行于直線l的直線n從原點O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,運動時間為t秒,運動過程中始終保持n∥l,直線n與x軸、y軸分別相交于C、D兩點,線段CD的中點為P,以P為圓心,以CD為直徑在CD上方作半圓,半圓面積為S,當直線n與直線l重合時,運動結束.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)求S與t的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍;
(3)直線n在運動過程中,
①當t為何值時,半圓與直線l相切?
②是否存在這樣的t值,使得半圓面積S=
12
S梯形ABCD?若存在,求出t值.若不存在,說明理由.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)由直線l的解析式y(tǒng)=-x+6,令y=0求得A點坐標,x=0求得B點坐標;
(2)由面積公式S=
1
2
×π×(
|CD|
2
)2
,CD=
2
OD=
2
t列出函數(shù)關系式,D在線段OA上運動,可得出t取值范圍;
(3)①當兩直線的距離為
|CD|
2
時,半圓與直線相切,即AD=
2
2
CD
;
②由面積公式列出等量關系“
1
2
×π×(
|CD|
2
)2
=
1
2
(AB+CD)×AD×
2
2
”求出t值.
解答:解:(1)∵y=-x+6,令y=0,得0=-x+6,x=6
∴A(6,0)
令x=0,得y=6
∴B=(0,6)

(2)∵OA=OB=6
∴△AOB是等腰直角三角形
∵n∥l
∴∠CDO=∠BAO=45°
∴△COD為等腰直角三角形
∴OD=OC=t
CD=
OC2+OD2
=
t2+t2
=
2
t

∴PD=
1
2
CD=
2
2
t
S=
1
2
πPD2=
1
2
π•(
2
2
t)2=
1
4
πt2

∴S=
1
4
πt2
(0<t≤6)

(3)精英家教網(wǎng)
①分別過D、P作DE⊥AB于E、PF⊥AB于F
AD=OA-OD=6-t
在Rt△ADE中sin∠EAD=
DE
AD

DE=
2
2
•(6-t)

∴PF=DE=
2
2
(6-t)

當PF=PD時,半圓與l相切
2
2
(6-t)=
2
2
t

t=3
當t=3時,半圓與直線l相切.
②存在.
∵S梯形ABCD=S△AOB-S△COD=
1
2
×6×6-
1
2
×t•t=18-
1
2
t2

S=
1
4
πt2

若S=
1
2
S梯形ABCD,則
1
4
πt2=
1
2
(18-
1
2
t2)

(π+1)t2=36
t2=
36
π+1

t=
6
π+1
=
6
π+1
π+1
<6

∴存在t=
6
π+1
π+1
,使得S=
1
2
S梯形ABCD
點評:本題為復雜的一次函數(shù)綜合題,其中有坐標的求法,動點運動的函數(shù)關系式以及面積的求法.
練習冊系列答案
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13
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(1)求a的值,判斷直線l3:y=-
1
2
nx-2m是否也經(jīng)過點P?請說明理由;
(2)不解關于x,y的方程組
y=3x+1
y=mx+n
,請你直接寫出它的解;
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A.0        B.1   C.2          D.3

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A.0        B.1       C.2          D.3

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