Question

在直角坐標(biāo)系中，有一點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），經(jīng)過點(diǎn)C的拋物線為y=ax²+c（a≠0），四邊形ABCD是正方形（A、B、C、D四點(diǎn)順次排列）
（1）若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，求出a和c的值．
（2）若正方形ABCD有兩個(gè)頂點(diǎn)均在y軸，y=kx經(jīng)過第三個(gè)頂點(diǎn)（除C外），寫在此時(shí)的正比例函數(shù)解析式．
（3）若點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)并求出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)C和原點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程即可求出a、c的值；
（2）判斷出正方形的邊長，然后分兩種情況寫出正方形在y軸上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），再分點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸的正半軸和負(fù)半軸兩種情況，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等列出方程組，然后求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），C（3，4），
∴

c=0 9a+c=4

，
解得

a= 4 9 c=0

；

（2）∵正方形ABCD有兩個(gè)頂點(diǎn)均在y軸上，
∴正方形的邊長為3，
∴在y軸上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，4），（0，1）或（0，4），（0，7），
∴第三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或（3，7），
設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，將（3，1），（3，7）分別代入解得k₁=

1

3

，k₂=

7

3

，
所以，正比例函數(shù)解析式為y=

1

3

x或y=

7

3

x；

（3）如圖，設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），
由三角形全等可得

a+b=4 b=3

或

-b=3 -b+4=-a

，
解得

a=1 b=3

或

a=-7 b=-3

，
所以，點(diǎn)A（1，0），B（0，3）或A（-7，0），（0，-3），
∴可求點(diǎn)D（4，1）或（-4，7），
將C、D的坐標(biāo)代入y=ax²+c得，

9a+c=4 16a+c=1

或

9a+c=4 16a+c=7

，
解得

a=- 3 7 c= 55 7

或

a= 3 7 c= 1 7

．
所以，拋物線的解析式為y=-

3

7

x²+

55

7

或y=

3

7

x²+

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等列出方程組．