Question

2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A為射線CE上一動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC=2∠BDO，過(guò)D作DM⊥AB于M．

（1）求證：∠ABD=∠ACD；
（2）求證：AD平分∠BAE；
（3）當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），$\frac{AB-AC}{AM}$的值是否發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)稱得∠BDO=∠CDO，從而∠BDC=2∠BDO，得到∠BAC=∠BDC，判斷出A，D，B，C四點(diǎn)共圓，即可；
（2）由A，D，B，C四點(diǎn)共圓，得到∠EAD=∠CBD，簡(jiǎn)單的代換即可；
（3）作出輔助線DN⊥CE，判斷出△BMD≌△CMD，代換化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）∵B，C關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴∠BDC=2∠BDO，BD=CD，
∵∠BAC=2∠BD0，
∴∠BAC=∠BDC，
∴A，D，B，C四點(diǎn)共圓，
∴∠ACD=∠ABD，
（2）∵A，D，B，C四點(diǎn)共圓，
∴∠EAD=∠CBD，
∵CD=BC，
∴∠BCD=∠CBD=∠BAD，
∴∠EAD=∠BAD，
∴AD平分∠EAB，
（3）如圖2，

$\frac{AB-AC}{AM}$的值是不發(fā)生變化，其值為2，
理由如下：作DN⊥CE，
∵DM⊥AB，
∴∠CND=∠BMD=90°，
∵AD平分∠EAB，
∴AM=AN，DM=DN，
∵∠ACD=∠ABD，
∴△BMD≌△CND，
∴BM=CN，
∴AB-AM=AC+AN，
∴AB-AC=AM+AN=2AM，
∴$\frac{AB-AC}{AM}$=2．

點(diǎn)評(píng) 此提示幾何變換綜合題，主要考查了對(duì)稱的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判斷方法，角平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷點(diǎn)A，D，B，C四點(diǎn)共圓，難點(diǎn)是構(gòu)造全等三角形．