Question

△PAB和△PMN是頂角相等的兩個等腰三角形，PA=PB，PM=PN，PM≠PB．
（1）如圖1，若P、B、M共線，判斷AM=BN是否成立，并說明理由；
（2）將△PAB繞點P旋轉(zhuǎn)角度α后（如圖2），（1）中結(jié)論仍然成立嗎？為什么？
（3）試用直尺和圓規(guī)在圖2中作∠PAM和∠PBN的角平分線（不寫作法，保留作圖痕跡），分別交PM、PN于點C、D，連接CN、MD，試判斷在旋轉(zhuǎn)過程中線段CN和MD有怎樣的大小關(guān)系，并對你的結(jié)論給予證明．

Answer 1

解：（1）AM=BN成立．
理由：在△PAM和△PBN中，由已知有
PA=PB，∠MPA=∠NPB，PM=PN，
∴△PAM≌△PBN（SAS），
∴AM=BN．

（2）將△PAB繞點P旋轉(zhuǎn)角度a后，AM=BN也能成立．
理由：①當(dāng)a=180°-∠APB時，
恰好M、P、A共線，N、P、B也共線，有
AM=AP+PM=BP+PN=BN成立．
②當(dāng)a=180°-∠APB時，
在△PAM和△PBN中，由題設(shè)有
PA=PB，PM=PN，
∵∠APB=∠MPN，
∴∠APB+α=∠MPN+α，
∴∠MPA=∠BPN，
∴△PAM≌△PBN（SAS），
∴AM=BN．

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中線段CN和MD的大小關(guān)系是CN=MD．
證明：①當(dāng)α=180°-∠APB時，M、P、A共線，N、P、B共線，
此時∠PAM和∠PBN的交平分線不存在．
②當(dāng)α≠180°-∠APB時，CN=MD，
證明：由（2）知△PAM≌△PBN，
∴∠MAP=∠NBP，
∵AC、BD分別是∠PAM何∠PBN的角平分線，
∴∠CAP=∠DBP，
∵PA=PB，
∴∠CPA=∠DPB，
∴△CPA≌△DPB，
∴CP=DP，
在△MDP和△NCP中，CP=DP，∠DPM=∠CPN，MP=NP，
∴△MDP≌△NCP，
∴CN=MD．
分析：（1）證△PAM≌△PBN即可；
（2）①當(dāng)a=180°-∠APB時，求出即可；②當(dāng)a=180°-∠APB時，根據(jù)SAS證△PAM≌△PBN即可；
（3）①當(dāng)α=180°-∠APB時，此時∠PAM和∠PBN的交平分線不存在，②當(dāng)α≠180°-∠APB時，證△CPA≌△DPB，推出CP=DP，根據(jù)SAS證△MDP≌△NCP即可．
點評：本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．