Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E．

（1）求證：EO=FO；（3分）
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；（3分）
（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論（4分）

Answer 1

（1）證明見解析；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形．證明見解析；
（3）△ABC是直角三角形，證明見解析．

試題分析：（1）根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．
（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答．
試題解析：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形．
如圖AO=CO，EO=FO，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB，
同理，∠ACF=∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，
∴四邊形AECF是矩形；
（3）△ABC是直角三角形
∵四邊形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．