Question

【題目】如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時AC′的中點恰好與D點重合，AB′交CD于點E，若AB＝6，

（1）BC＝_____；

（2）△AEC的面積為_____．

Answer 1

【答案】2， 4

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，即可求出BC的長；

（2）在（1）的條件下，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對等邊得到AE=CE，設(shè)AE=CE=x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長，即可求出三角形AEC面積．

（1）∵旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，即AD＝AC′＝AC，

∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，

∵AB＝6，

∴BC＝AB＝2，

（2）∵∠DAC＝60°，

∴∠DAD′＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴∠EAC＝∠ACD＝30°，

∴AE＝CE，

在Rt△ADE中，設(shè)AE＝EC＝x，則有

DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣x，AD＝×6＝2，

根據(jù)勾股定理得：x2＝（6﹣x）2+（2）2，

解得：x＝4，

∴EC＝4，

則S△AEC＝ECAD＝4．

故答案為：2；4．