Question

（1）如圖①，若BC=6，AC=4，∠C=60°，求△ABC的面積S_△ABC；
（2）如圖②，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面積S_△ABC；
（3）如圖③，四邊形ABCD，AC=m，BD=n，對(duì)角線AC交于O點(diǎn)，他們所成銳角為β，求四邊形ABCD的面積S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：

分析：（1）過(guò)A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）過(guò)A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）過(guò)A作AE⊥BD于E，過(guò)C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答：解：
（1）如圖①，過(guò)A作AM⊥BC于M，
則∠AMC=90°，
∵∠C=60°，AC=4，
∴AM=AC×sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∵BC=6，
∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

×BC×AM=

1

2

×6×2

3

=6

3

；

（2）如圖②，過(guò)A作AM⊥BC于M，
則∠AMC=90°，
∵∠C=α，AC=b，
∴AM=AC×sinα=b×sinα=bsinα，
∵BC=a，
∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

×BC×AM=

1

2

×a×bsinα=

1

2

absinα；

（3）如圖3，過(guò)A作AE⊥BD于E，過(guò)C作CF⊥BD于F，BD=n，OA+OC=m，
∵AC、BD夾角為β，
∴AE=OA•sinβ，CF=OC•sinβ，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC
=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF
=

1

2

BD•（AE+CF）
=

1

2

BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）=

1

2

BD•AC•sinβ=

1

2

mnsinβ．
即四邊形ABCD的面積S_{四邊形ABCD}=

1

2

mnsinβ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，三角形的面積的應(yīng)用，此題比較難，解題時(shí)關(guān)鍵要找對(duì)思路，即原四邊形的高已經(jīng)發(fā)生了變化，只要把高求出來(lái)，一切將迎刃而解．