Question

設(shè)a，b都是整數(shù)，求證：a，b，a+b，a-b這4個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被3整除．

Answer 1

分析：可分①a，b中至少有一個(gè)是3的倍數(shù)；②都不是3的倍數(shù)可分為都被3整除后余1，都被3整除后余2，一個(gè)被3整除后余1，一個(gè)被3整除后余2；看所給3個(gè)代數(shù)式中一定有哪個(gè)是3的倍數(shù)即可．

解答：證明：對(duì)于a，b，若至少有1個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，則ab是3的倍數(shù)；
若a，b都不是3的倍數(shù)
①當(dāng)a=3m+1，b=3n+1時(shí)，a-b=3（m-n），a-b是3的倍數(shù)；
②當(dāng)a=3m+1，b=3n+2時(shí)，a+b=3（m+n+1），a+b是3的倍數(shù)；
③當(dāng)a=3m+2，b=3n+2時(shí)，a-b=3（m-n），a-b是3的倍數(shù)；
∴a+b，ab、a-b這三個(gè)數(shù)之中，至少有一個(gè)是3的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查有關(guān)數(shù)的整除性的證明；把2個(gè)整數(shù)分為有3的倍數(shù)，沒有3的倍數(shù)2種情況探討是解決本題的難點(diǎn)．