Question

請閱讀下列材料：
問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑、高均為5cm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線．小明設(shè)計(jì)了兩條路線：
路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC．如下圖（2）所示：
設(shè)路線1的長度為l₁，則l₁²=AC²=AB²+

BC

²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC．如上圖（1）所示：
設(shè)路線2的長度為l₂，則l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225



l₁²-l₂²=25+25π²-225=25π²-200=25（π²-8）＞0
∴l(xiāng)₁²＞l₂²，∴l(xiāng)₁＞l₂
所以要選擇路線2較短．
（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1cm，高AB為5cm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算．請你幫小明完成下面的計(jì)算：
路線1：l₁²=AC²=

 

；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=

 

∵l₁²

 

l₂²，
∴l(xiāng)₁

 

l₂（填＞或＜）
∴選擇路線

 

（填1或2）較短．
（2）請你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r，高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理易得路線1?∈l₁²=AC²=高²+底面周長一半²；路線2：l₂²=（高+底面直徑）²；讓兩個(gè)平方比較，平方大的，底數(shù)就大．
（2）根據(jù)（1）得到的結(jié)論讓兩個(gè)代數(shù)式分三種情況進(jìn)行比較即可．

解答：解：（1）路線1：l₁²=AC²=25+π²；路線2：l₂²=（AB+BC）²=49．
∵l₁²＜l₂²，
∴l(xiāng)₁＜l₂（填＞或＜），
∴選擇路線1（填1或2）較短．（5分）

（2）l₁²=AC²=AB²+

BC

²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可．（2分）
當(dāng)r=

4h

π2-4

時(shí)，l₁²=l₂²；
當(dāng)r＞

4h

π2-4

時(shí)，l₁²＞l₂²；
當(dāng)r＜

4h

π2-4

時(shí)，l₁²＜l₂²．

點(diǎn)評：比較兩個(gè)數(shù)的大小，有時(shí)比較兩個(gè)數(shù)的平方比較簡便，比較兩個(gè)數(shù)的平方，通常讓這兩個(gè)數(shù)的平方相減．注意運(yùn)用類比的方法做類型題．