Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）求得拋物線頂點(diǎn)P，從直線BC的斜率算起，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線，解得直線代入拋物線解析式解得點(diǎn)Q；
（3）求得點(diǎn)M，由點(diǎn)M，P的縱坐標(biāo)關(guān)系可知，點(diǎn)R存在，y=2代入解得．
解答：解：（1）把三點(diǎn)代入拋物線解析式
，
即得：，
所以二次函數(shù)式為y=-x²+2x+3；

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
則頂點(diǎn)P（1，4），
由B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求直線BC解析式為y=-x+3，
設(shè)過(guò)點(diǎn)P與直線BC平行的直線為：y=-x+b′，
將點(diǎn)P（1，4）代入，得y=-x+5，
則過(guò)點(diǎn)P與直線BC平行的直線與拋物線聯(lián)立，有則存在點(diǎn)Q，
-x²+2x+3=-x+5，
即x²-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
代入直線則得點(diǎn)（1，4）或（2，3），
已知點(diǎn)P（1，4），
所以點(diǎn)Q（2，3），
由對(duì)稱軸及直線BC解析式可知M（1，2），PM=2，
設(shè)過(guò)P′（1，0）且與BC平行的直線為y=-x+f，
將P′代入，得y=-x+1，
聯(lián)立，解得或，
∴Q（2，3）或（，）或Q（，）；

（3）由題意求得直線BC代入x=1，則y=2，
∴M（1，2），
由點(diǎn)M，P的坐標(biāo)可知：
點(diǎn)R存在，即過(guò)點(diǎn)M平行于x軸的直線，
則代入y=2，x²-2x-1=0，
解得x=1-（在對(duì)稱軸的左側(cè)，舍去），x=1，
即點(diǎn)R（1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查到了三點(diǎn)確定二次函數(shù)解析式，兩直線相等，即斜率相等，兩三角形面積相等，由同底等高；點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度是點(diǎn)P的一半，從而解得．本題邏輯思維性強(qiáng)，需要耐心和細(xì)心，是道好題．