Question

（2013•河南）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處．當(dāng)△CEB′為直角三角形時，BE的長為

3

2

或3

．

Answer 1

分析：當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：
①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．
連結(jié)AC，先利用勾股定理計算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，所以點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中運用勾股定理可計算出x．
②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形．

解答：解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．
連結(jié)AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=

42+32

=5，
∵∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，
∴∠AB′E=∠B=90°，
當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，
∴點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，如圖，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′²+CB′²=CE²，
∴x²+2²=（4-x）²，解得x=

3

2

，
∴BE=

3

2

；
②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．
此時ABEB′為正方形，∴BE=AB=3．
綜上所述，BE的長為

3

2

或3．
故答案為：

3

2

或3．

點評：本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．