Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC的邊于G，F(xiàn)，E點．
求證：（1）F是BC的中點；
（2）∠A=∠GEF．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為在直角△ABC中，D是AB的中點，所以BD=DC，由因為CD是⊙O的直徑，所以DF⊥BC；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證，F(xiàn)是BC的中點；
（2）根據(jù)中位線定理，可證∠A=∠BDF；再由圓周角定理得∠BDF=∠GEF，所以∠A=∠GEF，即證．
解答：證明一：
（1）連接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴BD=DC=AB，（2分）
∵DC是⊙O的直徑，
∴DF⊥BC，（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中點；（5分）

（2）∵D，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
∴DF∥AC，（6分）
∴∠A=∠BDF，（7分）
∵∠BDF=∠GEF（圓周角定理），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）

證明二：
（1）連接DF，DE，
∵DC是⊙O直徑，
∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）
∵∠ECF=90°，
∴四邊形DECF是矩形．
∴EF=CD，DF=EC．（2分）
∵D是AB的中點，∠ACB=90°，
∴EF=CD=BD=AB．（3分）
∴△DBF≌△EFC．（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中點．（5分）

（2）∵△DBF≌△EFC，
∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）
∵∠ACB=90°（也可證AB∥EF，得∠A=∠FEC），
∴∠A=∠FEC．（7分）
∵∠FEG=∠BDF（同弧所對的圓周角相等 ），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）
（此題證法較多，大綱卷參考答案中，又給出了兩種不同的證法，可供參考．）
點評：本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，圓周角性質(zhì)．