Question

【題目】將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊AC與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊AC恰好重合．已知AB=2，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在∠ABC的平分線上時(shí)，求DP的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)PD=BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以D、P、B、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在BC邊上，求出此時(shí)DPBQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）．（2）15°或75°；（3）．

【解析】

試題分析：（1）作DF⊥AC于F，由AB的長求得BC、AC的長．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的長．則由勾股定理即可求得DP的長．

（2）由（1）得BC與DF的關(guān)系，則DP與DF的關(guān)系也已知，先求得∠PDF的度數(shù)，則∠PDA的度數(shù)也可求出，需注意有兩種情況．

（3）由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DF，P為AC中點(diǎn)，作出平行四邊形，求得面積．

解：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，

∴BC=，AC=3．

（1）如圖（1），作DF⊥AC于F．

∵Rt△ACD中，AD=CD，

∴DF=AF=CF=．

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC=30°，

∴CP=BCtan30°=1，

∴PF=，

∴DP==．

（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，

根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=，∠ADF=45°，

又∵PD=BC=，

∴cos∠PDF==，

∴∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF﹣∠PDF=15°．

當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，同（2）可得∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

故∠PDA的度數(shù)為15°或75°；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AC中點(diǎn)（如圖4），即CP=時(shí)，

以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上．

∵四邊形DPBQ為平行四邊形，

∴BC∥DP，

∵∠ACB=90°，

∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．

而在Rt△ABC中，AB=2，BC=，

∴根據(jù)勾股定理得：AC=3，

∵△DAC為等腰直角三角形，

∴DP=CP=AC=，

∵BC∥DP，

∴CP是平行四邊形DPBQ的高，

∴S平行四邊形DPBQ=DPCP=．